Après le guide orange "Pour enseigner la lecture et l'écriture en CP", voici le versant de ce guide en mathématiques : "Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes en CP".
Je l'ai lu et je vous fais un résumé des points que j'ai trouvés importants à retenir :
INTRODUCTION
Les mathématiques permettent de développer des capacités et compétences : savoir représenter, modéliser, chercher, raisonner, calculer et communiquer.
Voici un exemple de cheminement cognitif (p18) :
- manipulation d'objets,
- pour aller vers le surcomptage sur des schémas,
- pour aller vers le surcomptage avec l'écriture des nombres en chiffres
- pour aller vers le surcomptage avec appui sur la file numérique
- pour aller vers des bonds sur la frise numérique
- pour aller vers des écritures formelles
I - Quels systèmes de numération enseigner, pourquoi et comment ?
La compréhension des deux systèmes de numération (oral et écrit) conditionne toutes les connaissances sur le calcul : les ressources de la numération orale pour le calcul mental, celles de la numération écrite chiffrée pour le calcul posé.
Analyse de différentes procédures de comparaison de nombres :
1/ correspondance terme à terme
2/ trouver le nom du nombre par comptage un à un (puis comparer par ordre d'arrivée dans la comptine)
3/ trouver le nom du nombre par comptage de 10 en 10
4/ coder les nombres avec l'écriture chiffrée
70 et 90 ne sont pas des nombres-repères : on ne les répète pas. On peut considérer que 10 n'est pas repérant non plus (car on ne le répète pas dans 11, 12, 13, 14, 15, 16), et s'appuyer sur "la petite comptine" (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) et "la grande comptine" (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).
En CP, il est nécessaire de comprendre la dizaine comme à la fois une nouvelle unité de dénombrement (1 dizaine, 2 dizaines, 3 dizaines...) et un synonyme de dix.
Un travail sur les deux systèmes de numération doit être mené :
- comprendre la structure de la comptine numérique pour mieux l'apprendre (repérants, petite et grande comptines, comptine des dizaines)
- comprendre la structure de la numération écrite chiffrée (principe positionnel et principe décimal)
Il est pertinent d'amener in fine les élèves à disposer des procédures 3/ et 4/ pour effectuer un dénombrement. Ces procédures sont particulièrement performantes quand la collection est déjà partiellement organisée en dizaines (par exemple 5d et 18u)
II - Calcul et sens des opérations
L'ambition majeure de l'enseignement du calcul à l'école doit être le développement aisé de sa pratique, s'appuyant sur la mémorisation de faits numériques et l'apprentissage de procédures et d'algorithmes.
Exemples de faits numériques : compléments à 10, doubles et moitiés, tables d'addition
Exemples de procédures élémentaires automatisées : +1, -1, +10, -10, 20+7, 34+8, décomposer un nombre, la commutativité de l'addition, les "presque-doubles"
Un des enjeux du CP est de passer des procédures de comptage aux procédures de calcul.
Le calcul mental :
La situation "de la boite" est proposée d'abord avec des nombres allant au moins jusqu'à 10 en période 1, puis au moins jusqu'à 20 en période 2. Elle est proposée dès le début du CP dans des situations d'ajout et de retrait, avec recherche de la quantité finale. Elle évoluera vers des problèmes parties-tout avec recherche d'une partie.
Il faut développer la fluence en calcul, par des entrainements nombreux et intensifs.
L'apprentissage des tables d'addition peut se faire en 7 étapes :
1/ la table de 1 (le nombre suivant)
2/ la table de 10
3/ les doubles (leur mémorisation présente peu de difficulté)
4/ les compléments à 10
5/ les presque-doubles
6/ les sommes inférieures à 10
7/ le passage par 10
L'utilisation de la commutativité permet de réduire la quantité de résultats à mémoriser. Cette propriété ne peut prendre son sens qu'en situation et n'a pas à être imposée. (p62)
Cette partie a été une sorte de révélation pour moi, et j'ai modifié toute ma programmation en calcul mental en m'appuyant sur ces propositions. Ce que j'ai mis en place me parait bien plus cohérent et logique que ce que je faisais avant. Et comme c'est très clair dans mon esprit, c'est aussi bien plus simple à mettre en oeuvre.
Le calcul en ligne est abordé à partir de p63. Il faut adopter une institutionnalisation qui porte à la fois sur la procédure et son domaine d'efficacité (p64-65)
Pour travailler les estimations, on peut procéder par QCM.
L'addition posée est abordée p67.
Les outils de la tracé écrite pour les trois formes de calcul : l'ardoise, le cahier de brouillon, le cahier de leçons, les affiches, le cahier du jour.
Les difficultés fréquentes autour du calcul :
(En cas d'erreur, il faut reconnaitre l'efficacité de la méthode et aider à la mettre en oeuvre correctement PUIS orienter vers des stratégies plus efficaces.)
- Difficulté à comprendre le langage symbolique du calcul
Il faut faire verbaliser, varier les outils de modélisation, mobiliser le jeu (exemples : jeu de déplacement sur piste, batailles, lotos, jeu du saladier, etc... Exemples développés p70)
- Difficulté à mémoriser et mobiliser le répertoire additif
Certains élèves restent dépendants de l'usage des doigts ; à partir du moment où la table d'addition est construire, il faut aider les élèves à dépasser cette procédure de comptage.
Il faut faire verbaliser, varier les outils de modélisation, mobiliser le jeu
- Difficulté à réaliser une addition posée
Il faut distinguer les erreurs liées à la disposition des chiffres, les erreurs de gestion de retenue, et les erreurs de calculs.
III - Résolution de problèmes et modélisation
L'objectif est triple :
- apprendre à résoudre des problèmes
- aborder de nouvelles notions et consolider ces acquisitions
- développer les capacités à chercher, raisonner, communiquer
Il faut :
- comprendre le problème posé
- établir une stratégie pour le résoudre
- mettre en oeuvre la stratégie retenue
- revenir sur la solution et prendre du recul sur le travail
De quels problèmes parle-t-on ? Les problèmes basiques, complexes, et les problèmes atypiques (voir p80-81)
Les fondamentaux de la démarche d'enseignement de la résolution de problèmes :
- Aller de la manipulation à la représentation symbolique, en passant par la verbalisation, pour aller vers l'abstraction.
Il faut distinguer manipulation passive et manipulation active (p83)
La verbalisation concerne à la fois le professeur et les élèves.
Le professeur verbalise les étapes et ses propres procédures. Il fait des liens explicites avec les connaissances et compétences à mobiliser. Il formule et reformule le langage mathématique précis.
L'élève explicite ses actions, sa démarches et ses solutions, pour prendre du recul, pour formuler des hypothèses, pour anticiper, pour produire des arguments mathématiques pour valider ses solutions.
La verbalisation est importante à trois niveaux pour l'élève :
- pour lui-même (retour réflexif sur son propre raisonnement)
- pour les autres (préciser l'argumentation pour la rendre compréhensible)
- pour le professeur (prendre de l'information et donner un étayage adapté)
Le professeur doit provoquer, par des questions ciblées, les verbalisations des élèves à toutes les étapes du processus.
- Faire évoluer les procédures.
Les stratégies peuvent être de trois ordres :
1/ dénombrement plutôt élémentaire
2/ dénombrement, s'appuyant sur des représentations symboliques
3/ calcul, plus ou moins formalisé
La modélisation, pour aider à résoudre des problèmes
Représenter, c'est traduire la situation par un dessin ou un schéma.
Modéliser, c'est traduire mathématiquement la situation.
Quelques éléments du continuum didactique au cycle 2 et au cycle 3
- le sens des opérations et la symétrie entre les opérations (18+7=25, 25-18=7, 25-7=18)
- le lien avec la comparaison (Qui a le plus ? Qui a le moins ?)
- la résolution de problèmes complexes
- le lien avec l'introduction ultérieure de la fraction
Les écrits et l'importance de l'institutionnalisation
Les supports des élèves : un cahier personnel, et un cahier de référence en mathématiques (cahier de leçons) : on y trouve les écrits formalisés par le professeur avec les élèves lors de la phase d'institutionnalisation
Les supports collectifs : des affiches correspondant aux problèmes de référence rencontrés
L'institutionnalisation joue un rôle essentiel pour structurer la trace d'un savoir partagé.
IV - Quels matériels et pour quelle utilisation en mathématiques au CP ?
Le matériel n'est qu'une représentation d'un concept mathématique, et non pas le concept lui-même.
Le choix du matériel doit se faire suivant quatre principes :
- son utilisation doit être régulière, constante, sur une longue période (supérieure à un an)
- commencer par des représentations figuratives, pour aller petit-à-petit vers des représentations plus abstraites
- éviter le matériel qui ressemble trop à la vie de tous les jours ou qui donne envie de jouer
- expliciter le lien entre le matériel et le concept qu'il représente
Voici le matériel qualifié d'incontournable dans une classe de CP :
les cubes emboitables,
la frise numérique,
le tableau des nombres.
Et le matériel complémentaire, qu'il peut être intéressant d'utiliser :
les réglettes Cuisenaire,
les cartes à points,
le compteur,
le matériel multi-base,
la monnaie
Ces matériels n'ont de sens que s'ils sont mis en place dans la durée et que leur utilisation est définie au sein d'une progression de cycle.
V - Le jeu dans l'apprentissage des mathématiques
Une analyse de jeux mathématiques est menée p126.
J'ai trouvé intéressants les jeu "Bon débarras" (pour travailler les compléments à 10), et le jeu de Yams, qui se joue avec 5 dés (pour travailler le calcul).
